算額（その1495） - 算額あれこれ

4 岩手県花巻市北笹間東光寺慶應2年(1866)

安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：3次元，球，円錐
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

円錐の中に大球 1 個，小球 8 個を容れる。大球は円錐の側面に内接し，小球と外接する。小球は円錐の側面に内接し，大球に外接し，互いに外接し合っている。
小球の直径が 1 寸のとき，円錐の底面の直径はいかほどか。

左図は横から見た図，右図は上から見た図赤は大球，青は小球，緑は円錐の外縁（右の図では底面の円）。小球の中心は灰色の円周上にある。

円錐の底面の半径と座標を \(a, (0, 0, 0)\)
円錐の高さを \(h\)
大球の半径と中心座標を \(r_1, (0, 0, r_1)\)
小球の半径と中心座標を \(r_2, (b, 0, r_2)\)
とおき，以下の連立方程式を \(r_2\) を既知として解き \(a, r_1, h\) を求める。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy

@syms a, b, h, r1, r2
b = r2/sind(Sym(45)/2)
eq1 = r1/(h - r1) - a/sqrt(a^2 + h^2)
eq2 = 2sqrt(r1*r2) - b
eq3 = r2/(a - b) - r1/a;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (a, r1, h))[1]

(2*r2*(1 + sqrt(2))/sqrt(2 - sqrt(2)), r2*(sqrt(2) + 2)/2, 8*r2*(2*sqrt(2) + 5)/17)

底面の円の半径 \(a\) は，小球の半径 \(r_2\) の \(\displaystyle \frac{2 + 2 \sqrt{2}}{\sqrt{2 - \sqrt{2}}} = \sqrt{2 - \sqrt{2}} \left( 4 + 3 \sqrt{2} \right) =6.3086440597979\) 倍である。

小球の直径が 1 寸のとき，底面の円の直径は 6.3086440597979 寸である。
ちなみに円錐の高さは 1.8419828528814564 寸，大球の直径は 1.7071067811865475 寸である。

術は
天 = √2 + 2
大球径 = (sqrt(天)*天)*小球径
である。
\(\sqrt{天}天\) は \( (\sqrt{2} + 2)^{3/2}\) にまで簡約化できる。

(sqrt(2) + 2)^(3/2)

6.3086440597979

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(r2, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
(a, r1, h) = (2*r2*(1 + sqrt(2))/sqrt(2 - sqrt(2)), r2*(sqrt(2) + 2)/2, 8*r2*(2*sqrt(2) + 5)/17)
b = r2/sind(45/2)
@printf("小球の直径が %g のとき，底面の円の直径は %g，高さは %g，大球の直径は %g である。\n", 2r2, 2a, h, 2r1)
p1 = plot([a, 0, -a, a], [0, h, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
circle(0, r1, r1)
circle(b, r2, r2, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
end
p2 = plot()
rotate(b, 0, r2, angle=45, :blue)
circle(0, 0, b, :gray80)
circle(0, 0, r1)
circle(0, 0, a, :green)
plot(p1, p2)
end;