四十三 岩手県一関市真滝 熊野白山滝神社 弘化3年(1846)
山村善夫：現存 岩手の算額，昭和52年1月30日，熊谷印刷，盛岡市.
http://www.wasan.jp/yamamura/yamamura.html
今有如図 03031
https://w.atwiki.jp/sangaku/pages/326.html
キーワード：円6個，外円，弦2本，斜線2本，（弦4本）
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学
全円（外円）の中に水平な弦 2 本，斜線（斜めの弦） 2 本を描き，大円 2 個と小円 3 個を容れる。小円の直径が与えられたとき，全円の直径を求める術を述べよ。
注：算額の図では，下側の水平な弦は円の中心を通るように見えるが，一般的にはそうではない。
\(r_2 = 1/2\) のとき，下側の弦が円の中心を通るのは \(r_1 = 2.2446442859050393\) と \(r_1 = 1.144584273224155\)の 2 通りの場合だけである。
全円の半径と中心座標を \(R, (0, 0)\)
大円の半径と中心座標を \(x_1, y_{01} + r_1); y_{01} = R - 2r_2 - 2r_1\)
小円の半径と中心座標を \(r_2, (0, y_{02} + r_2), (0, y_{02} - r_2), (0, y_{01} + r_2); y_{01} = R - 2r_2\)
斜線と弦の交点座標を \( (a, y_{01}), (-a, y_{02})\)
とおき，以下の連立方程式を解く。
include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース
using SymPy
@syms R::positive, r1::positive,
x1::positive, r2::positive, a::positive
y01 = R - 2r2 - 2r1
eq1 = x1^2 + (R - r1 - 2r2)^2 - (R - r1)^2
eq2 = r2/(r1 - r2) - r1/sqrt(a^2 + r1^2)
eq3 = r2/a - r1/(a + x1)
eq4 = dist2(-a, R - 2r2, a, y01, x1, y01 + r1, r1);
eq5 = dist2(-a, R - 2r2, a, y01, 0, R - 3r2, r2);
res = solve([eq1, eq3, eq5], (R, x1, a))[2] # 2 of 2
( (r1^3 + 2*r1^2*r2 - 3*r1*r2^2 - 8*r2^3)/(4*r2*(r1 - 2*r2)), sqrt(r1)*(r1 - r2)*sqrt(1/(r1 - 2*r2)), sqrt(r1)*r2*sqrt(1/(r1 - 2*r2)))
# R 全円の半径
res[1]
\(\displaystyle \frac{r_{1}^{3} + 2 r_{1}^{2} r_{2} - 3 r_{1} r_{2}^{2} - 8 r_{2}^{3}}{4 r_{2} \left(r_{1} - 2 r_{2}\right)}\)
たとえば，大円の半径が 5，小円の半径が 2 のとき，全円の半径は 101/8 = 12.625（直径は 25.25） である。
res[1](r1 => 5, r2 => 2).evalf() |> println
12.6250000000000
山村の解説では，術は以下のようであるとされているが，大円の直径が 10，小円の直径が 4 のとき，全円の直径は 122/3 = 40.6666666666667 となり，一致しない。
@syms 大, 小
A = (大 - 2小)*小
全円径 = A/(大/2 - 小/2)*大 + 大 + 小
\(\displaystyle \frac{大 小 \left(大 - 2 小\right)}{\frac{大}{2} - \frac{小}{2}} + 大 + 小\)
全円径(大 => 10, 小 => 4).evalf() |> println
40.6666666666667
山村は，「巾乗」を見逃しているのと，「以除」を単に「除」とする 2 つのミスを犯している。正しくは以下のようである。
このように修正すれば，前述したのと同じ解を得ることができる。
@syms 大, 小
A = (大 - 2小)*小
全円径 = (大/2 - 小/2)^2/A*大 + 大 + 小
\(\displaystyle 大 + \frac{大 \left(\frac{大}{2} - \frac{小}{2}\right)^{2}}{小 \left(大 - 2 小\right)} + 小\)
全円径(大 => 10, 小 => 4).evalf() |> println
25.2500000000000
全円径は以下のように表され，res[1] と等しくなる（直径を対象にするか半径を対象にするかの違いだけである）。
全円径 |> expand |> simplify
\(\displaystyle \frac{大^{3} + 2 大^{2} 小 - 3 大 小^{2} - 8 小^{3}}{4 小 \left(大 - 2 小\right)}\)
描画関数プログラムのソースを見る
function draw(r1, r2, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
#(R, x1, a) = ( (r1^3 + 2*r1^2*r2 - 3*r1*r2^2 - 8*r2^3)/(4*r2*(r1 - 2*r2)), sqrt(r1)*(-r1 + r2)*sqrt(1/(r1 - 2*r2)), -sqrt(r1)*r2*sqrt(1/(r1 - 2*r2)))
(R, x1, a) = ( (r1^3 + 2*r1^2*r2 - 3*r1*r2^2 - 8*r2^3)/(4*r2*(r1 - 2*r2)), sqrt(r1)*(r1 - r2)*sqrt(1/(r1 - 2*r2)), sqrt(r1)*r2*sqrt(1/(r1 - 2*r2)))
y02 = R - 2r2
y01 = y02 - 2r1
x01 = sqrt(R^2 - y01^2)
x02 = sqrt(R^2 - y02^2)
@printf("r1 = %g; r2 = %g; R = %g; y01 = %g\n", r1, r2, R, y01)
p = plot()
circle(0, 0, R, :blue)
circle2(x1, y01 + r1, r1, :magenta)
circle(0, y01 + r2, r2)
circle(0, y02 + r2, r2)
circle(0, y02 - r2, r2)
segment(-x01, y01, x01, y01)
segment(-x02, y02, x02, y02)
#segment(a, y01, -a, y02)
#segment(-a, y01, a, y02)
(x3, y3, x4, y4) = intersection2(R, 0, 0, a, y01, -a, y02)
segment(x3, y3, x4, y4, :green)
segment(-x3, y3, -x4, y4, :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x1, y01 + r1, "大円:r1,(x1,y01+r1)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
point(a, y01, "(a,y01)", :green, :right, delta=-delta/2)
point(-a, y02, "(-a,y02)", :green, :left, :bottom, delta=delta/2, deltax=-delta)
point(0, y01 + r2, "y01+r2", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, y02 + r2, "y02+r2", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, y02 - r2, "y02-r2", :red, :center, delta=-delta/2)
point(0, y01, "y01", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, y02, "y02", :green, :center, delta=-delta/2)
point(0, R, "R", :blue, :center, :bottom, delta=delta/2)
end
return p
end;
draw(5, 2, true)
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