算額（その516） - 算額あれこれ

『算法新書』文政13年(1830)

一関市博物館>>和算に挑戦>>平成26年度出題問題>>平成26年度出題問題(2)[中級問題]（中学・高校生向き）
https://www.city.ichinoseki.iwate.jp/museum/wasan/h26/normal.html
キーワード：円4個，外円，斜線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

外円の中に弦 2 本と小円が 3 個入っている。左右の小円は弦にその中点で接している。外円の直径が 1 寸のとき，小円の直径を求めよ。

外円の半径と中心座標を \(R,\ (0,\ 0)\)
小円の半径と中心座標を \(r,\ (x,\ y),\ (0,\ r - R)\)
弦と円の右下の交点座標を \( (a,\ -\sqrt{R^2 - a^2})\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy

@syms R, r, a, x, y

eq1 = r/(2R - r) - (R - 2r)/R;

eq1 だけで，\(R\) が与えられたときに \(r\) を求めることができる。

solve(eq1, r)[1] |> println

R*(3 - sqrt(5))/2

\(r = R(3 - \sqrt{5})/2\) が適解である。
すなわち，外円の直径が 1 のとき，小円の直径は \( (3 - \sqrt{5})/2 ≒ 0.3819660112501051\) である。

(3 - sqrt(5))/2

0.3819660112501051

図を描くために必要な \(a,\ x,\ y\) を求めるには以下の eq2, eq3, eq4 を加えて，4元連立方程式を解けばよい。

eq2 = 2sqrt(R^2 - (R - 2r)^2) - sqrt( (R + sqrt(R^2 - a^2))^2 + a^2)
eq3 = x^2 + y^2 - (R - r)^2
eq4 = (y/x)*( (R + sqrt(R^2 - a^2))/a) + 1
res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4], (r, a, x, y))[6]; 6 of 16

res[1] |> println # r

R*(3 - sqrt(5))/2

res[2] |> println # a

4*R*sqrt(-38 + 17*sqrt(5))

res[3] |> println # x

sqrt(2)*sqrt(R^2*(-8*R*(-199 + 89*sqrt(5))/(R + sqrt(609 - 272*sqrt(5))*sqrt(R^2)) - sqrt(5) + 3))/2

res[4] |> println # y

2*sqrt(R^3/(R + sqrt(609 - 272*sqrt(5))*sqrt(R^2)))*sqrt(-199 + 89*sqrt(5))

\(R = 1\) のとき，\(r = 0.381966;\ a = 0.458792;\ x = 0.600566;\ y = 0.145898\)

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
R = 1
(r, a, x, y) = (
R*(3 - sqrt(5))/2,
4*R*sqrt(-38 + 17*sqrt(5)),
sqrt(2)*sqrt(R^2*(-8*R*(-199 + 89*sqrt(5))/(R + sqrt(609 - 272*sqrt(5))*sqrt(R^2)) - sqrt(5) + 3))/2,
2*sqrt(R^3/(R + sqrt(609 - 272*sqrt(5))*sqrt(R^2)))*sqrt(-199 + 89*sqrt(5)))
@printf("R = %g; r = %g; a = %g; x = %g; y = %g\n", R, r, a, x, y)
plot()
circle(0, 0, R)
circle(x, y, r, :blue)
circle(-x, y, r, :blue)
circle(0, r - R, r, :blue)
segment(0, R, a, -sqrt(R^2 - a^2), :green)
segment(0, R, -a, -sqrt(R^2 - a^2), :green)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
point(x, y, " (x,y)", :blue, :left, :vcenter)
point(a, -√(R^2 - a^2), "(a, -√(R^2-a^2))", :blue)
point(0, r - R, " r-R", :blue, :left, :vcenter)
point(R, 0, " R", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
end
end;