算額（その1773） - 算額あれこれ

『容術新題』（鈴木円著）其十一

深川英俊，ダン・ペドー：日本の幾何—何題解けますか，森北出版株式会社，1991.
キーワード：円4個，四分円，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

一辺の長さが \(a\) の正方形内に，直線，円，円弧などを設けるとき，小円の半径は，100 個の問題について全く同じ答 \(a/16\) になることを示せ。

其十一：正方形の中に，四分円 1 個，大円 2 個，小円 2 個を容れる。

注：上の小円と右の大円の中心，下の小円と左の大円の中心の \(x\) 座標値が等しい。

正方形の一辺の長さを \(a\)
四分円の半径と中心座標を \(a, (0, a)\)
大円の半径と中心座標を \(r_1, (a - r_1, r_1), (a - 2r_1, r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r, (a - r_1, y), (a - 2r_1, r); y = 2r_1 - r\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms a::positive, r::positive, r1::positive, y::positive
eq1 = (a - 2r1)^2 + (a - r)^2 - (a + r)^2
eq2 = (a - r1)^2 + (a - y)^2 - (a - r)^2
eq3 = ( (a - r1) - (a - 2r1))^2 + (y - r1)^2 - (r1 + r)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r, r1, y))[1] # 1 of 4

(a/16, a/4, 7*a/16)

小円の半径は \(a/16\) である。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(a, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho",
fg_color_border=:gray50, fg_color_text=:gray50, fg_color_axis=:gray50)
(r, r1, y) = (a/16, a/4, 7*a/16)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:green, lw=0.5)
circle(0, a, a, :green, beginangle=270, endangle=360)
circle(a - r1, r1, r1, :blue)
circle(a - 2r1, r1, r1, :blue)
circle(a - r1, y, r)
circle(a - 2r1, r, r)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a, a, "(a,a)", :green, :right, :bottom, delta=delta/2)
point(a - 2r1, r1, "大円:r1\n(a-r1,2r1)", :blue, :right, :vcenter, deltax=-delta)
point(a - r1, r1, "大円:r1\n(a-r1,r1)", :blue, :left, :vcenter, deltax=delta)
point(a - 2r1, r, "(a-2r1,r)", :red, :left, :bottom, delta=2delta, deltax=4delta)
point(a - r1, y, "(a-r1,y)", :red, :left, delta=-2delta, deltax=4delta)
end
end;