算額（その1730） - 算額あれこれ

山形市小白川町天満神社（天満宮）明治14年(1881)

「算額」第四集全国調査，香川県算額研究会.（香川県立図書館蔵）
キーワード：円7個，外円，弦
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

外円の中に水平な弦を設け，その上に甲円 1 個と天円 2 個，その下に乙円 1 個と地円 2 個を容れる。
天円の直径が与えられたとき，地円の直径を求める術を述べよ。

外円の半径と中心座標を \(R, (0, 0)\)
甲円の半径と中心座標を \(r_1, (0, R - r_1)\)
天円の半径と中心座標を \(r_3, (0, R - 2r_1 + r_3)\)
乙円の半径と中心座標を \(r_2, (0, r_2 - R)\)
地円の半径と中心座標を \(r_4, (0, R - 2r_1 - r_4)\)
とおく。

算法助術の公式29 より，
\(4(R^2 - (R - 2r_1)^2) = 16R\ r_3\)
\(4(R^2 - (R - 2r_1)^2) = 16R\ r_4\)
が成り立たなければならない。したがって，\(r_3 = r_4\) すなわち，「地円の直径は天円の直径に等しい」というのが答えである。
さらに，天円（地円）の直径が与えられただけでは甲円，乙円の直径は定まらない。

以下の連立方程式を解くと，\(r_4 = r_3, r_2\) は任意の値を取ることができ，\(r_1\) は \(r_2\ r_3/(r_2 - r_3)\) になるというのが連立方程式の解である。

実際，\(r_2\) は \(r_2 ≠ r_3\) である限り任意の値をとることができる。

「算額（その217）」，「算額（その1283）」は類題であるが，条件として甲円，乙円の直径が与えられているので一つの図形に同定される。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms R::positive, r1::positive, r2::positive,
r3::positive, x3::positive, r4::positive, x4::positive
x3 = 2sqrt(r1*r3)
x4 = 2sqrt(r2*r4)
R = r1 + r2
eq1 = x3^2 + (R - 2r1 + r3)^2 - (R - r3)^2
eq2 = x4^2 + (R - 2r1 - r4)^2 - (R - r4)^2
eq3 = 4(R^2 - (R - 2r1)^2) - 16R*r3;

res = solve([eq1, eq2, eq3], (r1, r2, r4))[1]

(r2*r3/(r2 - r3), r2, r3)

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(r3, r2, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
r1 = r2*r3/(r2 - r3)
r4 = r3
x3 = 2sqrt(r1*r3)
x4 = 2sqrt(r2*r4)
R = r1 + r2
y = R - 2r1
x = sqrt(R^2 - y^2)
@printf("R = %.15g; r1 = %.15g; r2 = %.15g; r3 = %.15g; x3 = %.15g; r4 = %.15g; x4 = %.15g\n", R, r1, r2, r3, x3, r4, x4)
plot()
circle(0, 0, R, :green)
circle(0, R - r1, r1, :blue)
circle(0, r2 - R, r2, :magenta)
circle2(x3, R - 2r1 + r3, r3)
circle2(x4, R - 2r1 -r4, r4, :orange)
segment(-x, y, x, y)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
str = @sprintf("%g", r2)
point(0, R - r1, "甲円:r1,(0,R-r1)", :blue, :center, delta=-delta)
point(0, r2 - R, "乙円:r2,(0,r2-R)\nr2 = " * str, :magenta, :center, delta=-delta)
point(x3, R - 2r1 + r3, " 天円:r3,(x3,R-2r1+r3)", :red, :left, :vcenter)
point(x4, R - 2r1 - r4, " 地円:r4,(x4,R-2r1-r4)", :orange, :left, :vcenter)
end
end;