算額（その1524） - 算額あれこれ

31 岩手県一関市赤荻字宿正慶山観音寺弘化4年(1847)

安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円3個，正三角形，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

正方形の中に正三角形と大円 2 個，小円 1 個を容れる。正三角形の一辺の長さは正方形の一辺の長さに等しい。大円の直径が与えられたとき，小円の直径を求める術を述べよ。

正方形，正三角形の一辺の長さを \(a\)
大円の半径と中心座標を \(r_1, (a - r_1, r_1)\)
小円の半径と中心座標を \(r_2, (a - r_2, a - r_2)\)
とおく。
正三角形の右上の頂点の座標は \( (a - r_2 - r_2/\sqrt{2}, a - r_2 - r_2/\sqrt{2})\) となる。
以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms a::positive, b::positive, r1::positive, r2::positive
s2 = √Sym(2)
b = a/√Sym(2)
eq1 = dist2(b, 0, a - r2 - r2/s2, a - r2 - r2/s2, a - r1, r1, r1)
eq2 = (a - r2 - r2/s2 - b)^2 + (a - r2 - r2/s2)^2 - a^2;

SymPy では一度に解くことができないが，eq2 は未知数が \(a\) だけなのですぐに解くことができる。

res = solve(eq2, r2)[1] # 1 of 2
res |> println

a*(-sqrt(3)*(2*sqrt(2) + 3) + (sqrt(2) + 3)*sqrt(2*sqrt(2) + 3))/(2*(2*sqrt(2) + 3)^(3/2))

@syms d
ans_r2 = apart(res, d) |> sympy.sqrtdenest |> simplify |> factor
ans_r2 |> println

-a*(-5 - sqrt(3) + sqrt(6) + 3*sqrt(2))/2

たとえば，一辺の長さが \(a = 10\) のとき，小円の直径は 0.399203776664140 である。

ans_r2(a => 10).evalf() * 2 |> println

0.399203776664140

つぎに，eq1 の \(r_2\) に \(ans_{r_2}\) を代入して，新たな方程式 eq11 とする。

eq11 = eq1(r2 => ans_r2) |> simplify
eq11 |> println

-sqrt(2)*a^2/2 - sqrt(6)*a^2/4 + 3*sqrt(3)*a^2/8 + 3*a^2/4 - 3*a*r1/2 - sqrt(3)*a*r1/2 + sqrt(6)*a*r1/4 + 3*sqrt(2)*a*r1/4 + r1^2/2

eq11 から \(r_1\) を求めると以下のようになる。

ans_r1 = solve(eq11, r1)[1] |> sympy.sqrtdenest |> simplify
ans_r1 |> println

a*(-3*sqrt(6) - 5*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 8)/4

たとえば，一辺の長さが \(a = 10\) のとき，大円の直径は 2.54333095030250 である。

ans_r1(a => 10).evalf() * 2 |> println

2.54333095030250

問は，「大円径から小円径を得る術」であるから，\(r_2/r_1\) を求めればよい。

apart(ans_r2/ans_r1, d) |> simplify |> println

-2*sqrt(3) - 2*sqrt(2) + sqrt(6) + 4

\(\sqrt{6} - 2\sqrt{3} - 2\sqrt{2} + 4\) で，SymPy ではそれ以上簡約化できないが，\( (2 - \sqrt{2}) (2 - \sqrt{3})\) であり，術と一致する。

小円の直径は，大円の直径の \( (2 - \sqrt{2}) (2 - \sqrt{3}) = 0.15696100289923345\) 倍である。

(2 - √2)*(2 - √3)

0.15696100289923345

正方形の一辺の長さが 10 のとき，
大円の直径が 2.54333095030250 である。
そのとき，小円の直径は 2.54333095030250 * 0.15696100289923345 = 0.39920377666414086 となり，直接求めた小円の直径と一致する。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(a, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
b = a/√2
r2 = -a*(-5 - sqrt(3) + sqrt(6) + 3*sqrt(2))/2
r1 = a*(-3*sqrt(6) - 5*sqrt(2) + 4*sqrt(3) + 8)/4
@printf("正方形の一辺の長さが %g のとき，大円の直径は %g，小円の直径は %g である。\n", a, 2r1, 2r2)
@printf("a = %g; b = %g; r1 = %g; r2 = %g\n", a, b, r1, r2)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
plot!([0, b, a - r2 - r2/√2, 0], [b, 0, a - r2 - r2/√2, b], color=:orange, lw=0.5)
circle(a - r1, r1, r1, :green)
circle(r1, a - r1, r1, :green)
circle(a - r2, a - r2, r2)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(a - r1, r1, "大円:r1\n(a-r1,r1)", :green, :center, delta=-delta/2)
point(a - r2, a - r2, "小円:r2,(a-r2,a-r2) ", :red, :right, :vcenter)
point(a, 0, "a", :blue, :center, delta=-delta)
point(0, a, "a ", :blue, :right, :vcenter)
point(0, b, "b ", :orange, :right, :vcenter)
point(b, 0, "b", :orange, :center, delta=-delta)
plot!(xlims=(-5delta, a + 5delta), ylims=(-5delta, a + 5delta))
end
end;