算額（その1523） - 算額あれこれ

36 岩手県一関市真柴字境田牧沢八幡神社明治5年(1872)

安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：楕円，菱形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

菱形の中に合同な 3 個の楕円を容れる。楕円の長径が 2 寸，短径が 1 寸のとき，菱形の長い方の対角線はいかほどか。

菱形の対角線の長い方を「長」，短い方を「平」
楕円の長半径を \(p\)，短半径を \(q\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

菱形の辺を延長し，\(x = -q\) および \(x = q\) の直線による 2 個の二等辺三角形を考える。
大きい二等辺三角形には緑の楕円が内接し，小さい二等辺三角形には赤の楕円が内接する。
これらに，三角形に内接する楕円と三角形の辺と高さに関する「算法助術の公式97」を適用する。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms A::positive, B::positive, C::positive, H::positive,
P::positive, Q::positive
eq97 = -(B^2 - C^2)^2*H*Q^2 + (B^2 - C^2)^2*Q^3 + A^4*H*(2H - Q)^2 - A^4*Q*(2H - Q)^2 - A^2*H*P^2*(2H - Q)^2;

@syms a::positive, b::positive, 長::positive, 平::positive,
p::positive, q::positive
b = 平/2
a = 長/2
factor1 = (a - q/2)/a
bc1 = sqrt( (平/2*factor1)^2 + (長/2*factor1)^2)
eq1 = eq97(A => 平*factor1, H => 長/2*factor1, B => bc1, C => bc1, P => q, Q => p);

factor2 = (a + q/2)/a
bc2 = sqrt( (平/2*factor2)^2 + (長/2*factor2)^2)
eq2 = eq97(A => 平*factor2, H => 長/2*factor2, B => bc2, C => bc2, P => p, Q => q);

res = solve([eq1, eq2], (平, 長))[2] # 平と長を逆にすると有限の時間内に求まらない

(sqrt( (p - q)/(p^2 - p*q + q^2))*(-2*p^2 + p*q - q^2)/(2*(p - q)*sqrt(1/(p - q))), (2*p^2 - p*q + q^2)/(p - q))

\(p\)，\(q\) を長半径，短半径とすると，平，長として菱長，菱平の 1/2 が求まる。
\(菱長/2\) は \( (2p^2 - p q + q^2)/(p - q)\)

res[2] |> println
res[2](p => 2/2, q => 1/2) |> println

(2*p^2 - p*q + q^2)/(p - q)
3.50000000000000

術は，「長径の二乗の二倍を，長径と短径の差で割り，短径□□を引く」で，長径が 2，短径が 1 のとき，菱長は 7 になり，答えと一致する。

術は，「\(2長径^2/(長径 - 短径) - 短径 = (2長径^2 - 長径\cdot 短径 - 短径^2)/(長径 - 短径)\)」なので，上で得られた \( (2p^2 - p q + q^2)/(p - q)\) と同じである。

長径 = 2
短径 = 1
菱長1 = 2長径^2/(長径 - 短径) - 短径 # = (2長径^2 - 長径*短径 - 短径^2)/(長径 - 短径)

7.0

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(p, q, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
# p, q は，長半径，短半径，得られるのは平/2，長/2
(平2, 長2) = (sqrt( (p - q)/(p^2 - p*q + q^2))*(2*p^2 - p*q + q^2)/(2*(p - q)*sqrt(1/(p - q))), (2*p^2 - p*q + q^2)/(p - q))
@printf("楕円の長径と短径は %g と %g; 菱形の対角線の長さは %g と %g\n", 2p, 2q, 2平2, 2長2)
plot([長2, 0, -長2, 0, 長2], [0, 平2, 0, -平2, 0], color=:blue, lw=0.5)
ellipse(0, 0, q, p, color=:green)
ellipse( (p + q), 0, p, q, color=:red)
ellipse(-(p + q), 0, p, q, color=:red)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(0, 平2, "平/2", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
point(長2, 0, "長/2", :blue, :left, :bottom, delta=delta)
point(q + p, 0, "q+p", :red, :center, delta=-delta)
point(q, 0, "q ", :red, :right, delta=-delta)
point(-q, 0, " -q", :red, :left, delta=-delta)
xlims!(-長2 - 5delta, 長2 + 15delta)
end
end;