算額（その168） - 算額あれこれ

岐阜県大垣市西外側町大垣八幡神社（大垣八幡宮）天保年間

http://ryugen3.sakura.ne.jp/toukou3/wasankibousya.PDF
キーワード：円7個，外円，1/3円
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

第20問: 正三角形内に等しい 3 円弧を描き，その中に青円，萌黄円を 3 個ずつ入れる。青円の直径を知って萌黄円の直径を求めよ。

正三角形の頂点を通る円の半径を 1 とし，萌黄円，青円の半径を \(r_1\)，\(r_2\)とおく。\(r_1\) は簡単に求めることができる。\(r_2\) を求め，\(r_1/r_2\) の比を求める。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy

@syms r2::positive;
sine = sin(PI/6)
cosine = cos(PI/6)
r0 = 1
xy = r0*sine - r2
x2 = xy*cosine
y2 = xy*sine
eq1 = x2^2 + (y2 + r0)^2 - (1 + r2)^2 |> simplify
eq1 |> println

3/4 - 4*r2

res = solve(eq1)[1] |> println # r2

3/16

x2 |> simplify |> println
y2 |> simplify |> println

sqrt(3)*(1 - 2*r2)/4
1/4 - r2/2

r1 = r0 - r0*cosine
r2 = 3//16
r1/r2 |> simplify |> println

16/3 - 8*sqrt(3)/3

\(萌黄径 = (16/3 - 8\sqrt{3}/3) × 青径 = 0.714531179816327 × 青径\) である。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(R, more)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
sine = sin(PI/6)
cosine = cos(PI/6)
r0 = 1
r1 = r0 - r0*cosine
r2 = 3//16
(x2, y2) = (sqrt(Sym(3))*(1 - 2*r2)/4, 1//4 - r2/2)
plot()
circle(0, r0/2, r1, :olivedrab1, fill=true)
circle(r0/2*cosine, -r0/2*sine, r1, :olivedrab1, fill=true)
circle(-r0/2*cosine, -r0/2*sine, r1, :olivedrab1, fill=true)
circle(x2, y2, r2, :steelblue1, fill=true)
circle(-x2, y2, r2, :steelblue1, fill=true)
circle(0, -sqrt(x2^2 + y2^2), r2, :steelblue1, fill=true)
circle(r0*cosine, r0*sine, r0, beginangle=150, endangle=270)
circle(-r0*cosine, r0*sine, r0, beginangle=270, endangle=390)
circle(0, -r0, r0, beginangle=30, endangle=150)
plot!([r0*cosine, 0, -r0*cosine, r0*cosine], [-r0*sine, r0, -r0*sine, -r0*sine], color=:black, lw=0.5)
if more
point(x2, y2, "(x2,y2,r2)", :black, :top)
point(0, r0/2, " r0/2", :black)
point(r0*cosine, r0*sine, "", :red)
point(-r0*cosine, r0*sine, "", :red)
point(0, -r0, "", :red)
circle(0, 0, 1, :black)
hline!([0], color=:black, lw=0.5)
vline!([0], color=:black, lw=0.5)
end
end;