算額（その1764） - 算額あれこれ

『容術新題』（鈴木円著）其二

深川英俊，ダン・ペドー：日本の幾何—何題解けますか，森北出版株式会社，1991.
キーワード：円2個，半円，四分円，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

一辺の長さが \(a\) の正方形内に，直線，円，円弧などを設けるとき，小円の半径は，100 個の問題について全く同じ答 \(a/16\) になることを示せ。

其二：正方形の中に，四分円1個，正方形をはみ出す半円 2 個を設け，小円 2 個を容れる。
注1：半円がどのようなものか，はみ出す部分も描く。
注2：上の小円は，半円と四分円に外接している。

正方形の一辺の長さを \(a\)
半円の半径と中心座標を \(r_0,\ (r_0,\ 0),\ (a - r_0,\ a)\)
四分円の半径と中心座標を \(a,\ (a,\ a)\)
小円の半径と中心座標を \(r,\ (r,\ y),\ (r,\ y - 2r)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms r0::positive, r::positive, y::positive, a::positive
eq1 = (a - r0 - r)^2 + (a - y)^2 - (r0 + r)^2
eq2 = (a - r)^2 + (a - y)^2 - (a + r)^2
eq3 = (r0 - r)^2 + (y - 2r)^2 - (r0 + r)^2
res = solve([eq1, eq2, eq3], (r, r0, y))[1] # 1 of 3

(a/16, 9*a/16, a/2)

小円の半径は \(a/16\) である。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(a, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho",
fg_color_border=:gray50, fg_color_text=:gray50, fg_color_axis=:gray50)
(r, r0, y) = (a/16, 9*a/16, a/2)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, a, a, 0], color=:green, lw=0.5)
circle(r0, 0, r0, :brown, beginangle=0, endangle=180)
circle(a - r0, a, r0, :brown, beginangle=180, endangle=360)
circle(a, a, a, :blue, beginangle=180, endangle=270)
circle(r, y, r)
circle(r, y - 2r, r)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(r0, 0, " 半円:r0,(r0,0)", :brown, :left, :vcenter)
point(a - r0, a, " 半円:r0,(a-r0,a)", :brown, :left, :vcenter)
point(r, y, "(r,y)", :red, :center, delta=-delta)
point(r, y - 2r, "(r,y-2r)", :red, :left, delta=-delta, deltax=-2delta)
point(a, a, "(a,a)", :green, :right, :bottom, delta=delta)
end
end;