算額（その1751） - 算額あれこれ

千葉県成田市成田山新勝寺明治30年(1897)

「算額」第三集全国調査，香川県算額研究会.（香川県立図書館蔵）
キーワード：楕円，正方形，対角線
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

正方形の中に対角線を引き，楕円 4 個を容れる。楕円の長径が 3 寸のとき，正方形の一辺の長さはいかほどか。

正方形の一辺の長さを a，楕円の長径，短径を P，Q とおく。
楕円は等辺が a/2 の直角二等辺三角形に内接するものである。
算法助術の公式97が適用できるが，問に示された「楕円の長径が 3 寸」という条件だけでは，条件不足である。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms a, A, B, C, H, P, Q;

eq97 = -(B^2 - C^2)^2*H*Q^2 + (B^2 - C^2)^2*Q^3 + A^4*H*(2H - Q)^2 - A^4*Q*(2H - Q)^2 - A^2*H*P^2*(2H - Q)^2
eq = eq97(A => a, B => a/√Sym(2), C => a/√Sym(2), H => a/2)

　\(\displaystyle - \frac{P^{2} a^{3} \left(- Q + a\right)^{2}}{2} - Q a^{4} \left(- Q + a\right)^{2} + \frac{a^{5} \left(- Q + a\right)^{2}}{2}\)

方程式 eq を解いて a を得るには，P および Q が既知でなければならない。

a = solve(eq, a)[4]
@show(a)

a = Q + sqrt(P^2 + Q^2)

　\(\displaystyle Q + \sqrt{P^{2} + Q^{2}}\)

逆に言えば，\(a = Q + \sqrt{P^2 + Q^2}\)　なので，\(P = 3\) だけでは \(Q\) はどんな値でも取ることができ，それぞれにおいて \(a\) も様々な値になる。

なお，「答」で「方が 3.62 寸」になるのは，P = 3, Q = 0.566906077348066 のときである。

(solve(eq, Q)[2])(P => 3, a => 3.62) |> println

(a^2 - 9)/(2*a)

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(P, Q, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho",
fg_color_border=:gray50, fg_color_text=:gray50, fg_color_axis=:gray50)
a = Q + sqrt(P^2 + Q^2)
ah = a/2
p = P/2
q = Q/2
plt = plot([a, a, -a, -a, a]./2, [-a, a, a, -a, -a]./2, color=:green, lw=0.5)
segment(ah, ah, -ah, -ah)
segment(-ah, ah, ah, -ah)
ellipse(ah - q, 0, q, p, color=:red)
ellipse(q - ah, 0, q, p, color=:red)
ellipse(0, ah - q, p, q, color=:red)
ellipse(0, q - ah, p, q, color=:red)
point(0, ah - q, @sprintf("長径 = %g, 短径 = %g\n方面 = %g", P, Q, a),
:black, :center, :vcenter, mark=false)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(ah, ah, "(a/2,a/2)", :green, :right, :bottom, delta=delta)
end
return plt
end;