算額（その1606） - 算額あれこれ

長野県須坂市とある廃寺元治元年(1864)

深川英俊，トニー・ロスマン：聖なる数学：算額，森北出版株式会社，2010年４月22日.
キーワード：直角三角形，円弧，正方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

直角三角形の中に円弧を描き，頂点が円弧と斜辺に接する正方形を容れる。股が一定のとき，正方形の一辺の長さは鈎の長さに応じて変化する。正方形の一辺の長さが最大になるのはどのようなときか。

鈎，股をそのまま変数名とする。
正方形の一辺の長さを \(a\), 左下の頂点の座標を \( (x, 0)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms 鈎::positive, 股::positive,
x::positive, a::positive
eq1 = (股 -x - a)^2 + (鈎 - a)^2 - 鈎^2
eq2 = a/x - 鈎/股
res = solve([eq1, eq2], (a, x))[2] # 2 of 2

(股^2*鈎/(股^2 + 2*股*鈎 + 2*鈎^2), 股^3/(股^2 + 2*股*鈎 + 2*鈎^2))

# 正方形の一辺の長さが最大になるときの鈎
ans_鈎 = solve(diff(res[1], 鈎), 鈎)[1]
ans_鈎 |> println

sqrt(2)*股/2

# 正方形の一辺の長さの最大値
res[1](鈎 => ans_鈎) |> simplify |> factor |> println

股*(-1 + sqrt(2))/2

\(鈎 = 股\sqrt{2}/2\) のとき，正方形の一辺の長さは最大値の「\(股(\sqrt{2} - 1)/2\)」を取る。

# x 正方形の位置
res[2](鈎 => ans_鈎) |> simplify |> factor |> println

-股*(-2 + sqrt(2))/2

股 = 10 のとき，鈎 = 7.07107; 正方形の一辺の長さ = 2.07107 である。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(股, more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
鈎 = √2股/2
a = 股*(√2 - 1)/2
x = -股*(-2 + sqrt(2))/2
θ = atand(股/鈎)
@printf("股 = %g; 鈎 = %g; 正方形の一辺の長さ = %g\n", 股, 鈎, a)
plot([0, 股, 股, 0], [0, 0, 鈎, 0], color=:green, lw=0.5)
plot!([x, x + a, x + a, x, x], [0, 0, a, a, 0], color=:blue, lw=0.5)
circle(股, 鈎, 鈎, beginangle=270 - θ, endangle=270)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(x, 0, "x", :blue, :center, delta=-delta)
point(x + a, 0, "x+a", :blue, :center, delta=-delta)
point(x + a, a, " (x+a,a)", :blue, :left, :vcenter)
point(x, a, "(x,a)", :blue, :right, :vcenter)
point(0, 0, "0", :blue, :center, delta=-delta)
point(股, 0, "股", :blue, :center, delta=-delta)
point(股, 鈎, "(股,鈎)", :blue, :right, :bottom, delta=delta/2)
ylims!(-5delta, 股 + delta)
end
end;