算額（その1019） - 算額あれこれ

20 岩手県奥州市前沢生母長根（旧前沢町赤生津長根）月山神社明治11年(1878)

安富有恒：和算—岩手の現存算額のすべて，青磁社，東京都，1987.
http://www.wasan.jp/iwatenosangaku_yasutomi.pdf
キーワード：円7個，長方形
#Julia #SymPy #算額 #和算 #数学

長方形の中に大円，中円，等円を容れる。長方形の長辺の長さが 53 寸のとき，等円の直径はいかほどか。

長方形の長辺の長さを \(a\)，（短辺の長さは \(4r_1\)）
大円の半径と中心座標を \(2r_1, (a - 2r_1, 2r_1)\)
中円の半径と中心座標を \(r_1, (a - 2r_1, r_1), (a - 2r_1, 3r_1)\)
等円の半径と中心座標を \(r_2, (a - 4r_1 + r_2, 2r_1), (3r_2, r_2), (a - r_2, 2r_1), (r_2, r_2)\)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt"); # julia-source.txt ソース

using SymPy
@syms a::positive, r1::positive, r2::positive
eq1 = (2r1 - r2)^2 + r1^2 - (r1 + r2)^2
eq2 = (a - 2r1 - 3r2)^2 + (2r1 - r2)^2 - (2r1 + r2)^2
res = solve([eq1, eq2], (r1, r2))[1];

# r1

res[1] |> simplify |> println

a*(3 - sqrt(3))/8

# r2

res[2] |> simplify |> println

a*(3 - sqrt(3))/12

等円の直径は，長方形の長辺の長さの \( (3 - \sqrt{3})/6\) 倍である。
「術」は「長方形の長辺の長さを，3 の平方根に 3 を加えたもので割る... \(a/(3 + \sqrt{3})\)」で，分母を有理化すると，\(a(3 - \sqrt{3})/6\) になる。

長方形の長辺の長さが 53 寸のとき，等円の直径は \(53(3 - \sqrt{3})/6 = 11.200217866474917\) である。

描画関数プログラムのソースを見る

function draw(more=false)
pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
a = 53
r1 = a*(3 - √3)/8
r2 = a*(3 - √3)/12
b = 4r1
@printf("長方形の一辺の長さが %g のとき，等円の直径は %g，中円の直径は %g，大円の直径は %g である。\n", a, 2r2, 2r1, 4r1)
plot([0, a, a, 0, 0], [0, 0, b, b, 0], color=:green, lw=0.5)
circle(r2, r2, r2)
circle(3r2, r2, r2)
circle(a - 4r1 + r2, 2r1, r2, :red)
circle(a - r2, 2r1, r2, :red)
circle(a - 2r1, r1, r1, :magenta)
circle(a - 2r1, 3r1, r1, :magenta)
circle(a - 2r1, 2r1, 2r1, :blue)
if more
delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3 # size[2] * fontsize * 2
hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
point(3r2, r2, "等円:r2\n(3r2,r2)", :red, :center, delta=-delta)
point(a - 4r1 + r2, 2r1, "等円:r2\n(a-4r1+r2,2r1)", :red, :center, :bottom, delta=delta)
point(a - 2r1, 2r1, "大円:2r1\n(a-2r1,2r1)", :blue, :center, delta=-delta)
point(a - 2r1, r1, "中円:r1\n(a-2r1,r1)", :magenta, :center, delta=-delta)
point(a, 0, " a", :green, :left, :bottom, delta=delta)
point(0, 4r1, " 4r1", :green, :left, :bottom, delta=delta)
end
end;